实数、超实数和博弈游戏：数学的结构之美

现在，让我们来回顾一下“小于等于”这个关系所满足的性质。它满足传递性，即 x ≤ y 和 y ≤ z 可以推出 x ≤ z 。它满足完全性，即 x ≤ y 和 y ≤ x 至少有一个成立。但是，它不满足反对称性。反对称性的意思是，如果 x ≤ y 并且 y ≤ x ，那么 x 和 y 必然是同一个元素。然而，我们刚才已经看到了， α = { | } 和 δ = {β | γ} 互相之间都具有 ≤ 关系，但它们并不是同一个元素。我们刚才反复强调，这里的“小于等于”是一个全新的概念，不要把它想象成我们熟知的那个小于等于；现在看来，这是一个无比正确的决定——这里的“小于等于”就是不能看成是我们熟知的那个小于等于。这里的“小于等于”不满足反对称性，但我们熟知的那个小于等于却得满足这一点。

先别管它。我们继续。在 Knuth 的小说中， Alice 和 Bill 又发现了一块新的石板，石板上定义了一种叫做“加法”的二元运算，用符号 + 表示。也请暂时不要和大家熟知的加法联系在一起。定义 x + y 的结果是一个新的数：它的左集合是由 x 的左集合的所有元素分别加 y ，以及 x 分别加上 y 的左集合的所有元素构成的；它的右集合是由 x 的右集合的所有元素分别加 y ，以及 x 分别加上 y 的右集合的所有元素构成的。如果把 x 的左集合和右集合分别记作 L(x) 和 R(x) ，把 y 的左集合和右集合分别记作 L(y) 和 R(y) ，那么 x + y 的左集合 L 和右集合 R 分别是

L = { u + y | u ∈ L(x) } ∪ { x + v | v ∈ L(y) }
R = { u + y | u ∈ R(x) } ∪ { x + v | v ∈ R(y) }

例如，若 x = {a, b | c} ， y = {d, e, f | g, h} ，那么 x + y 就是 {a + y, b + y, x + d, x + e, x + f | c + y, x + g, x + h} 。显然，加法也是递归地定义出来的。在研究加法所具备的性质之前，我们必须要先做一件事情：证明如此加出来的数一定是满足公理 1 的，换句话说加出来的一定都是合法的数。这个证明是很有必要的，它直接关系到加法运算的封闭性。然而，这件事情却很容易被人忽略。 Knuth 的书中有一段情节我非常喜欢，讲的就是 Alice 和 Bill 突然意识到自己忘了做这件事情。在第 12 章《灾难》的开头， Alice 说：“一小时前我醒来，发现我们昨天的证明有一个很大很大的漏洞，就是我们忘了证明 x + y 是一个数了。”听了这话之后， Bill 说：“开玩笑吧，这是两个数之和，当然是一个数咯！等等，我想想……哦，我们还要检查它是否满足公理 1 。”接下来的 11 页则都是 Alice 和 Bill 对这个问题的探究，可见证明这件事还真不容易。这里，我们略去证明。

这么定义加法，效果如何呢？还是用我们刚才的那些数来做试验： α = { | } 、 β = { | α} 、 γ = {α | } 。容易看出：α + α = α ， α + β = { | α + α} = { | α} = β ， α + γ = {α + α | } = {α | } = γ 。利用数学归纳法不难证明，事实上， α 加上任意一个数 x 都仍然等于 x 。如果 x = {a, b | c} ，那么 α + x 就等于 {α + a, α + b | α + c} ，根据归纳假设，这就是 {a, b | c} 。根据同样的道理，任意一个数 x 加上 α 也都仍然等于 x 。如果 x = {a, b | c} ，那么 x + α 就等于 {a + α, b + α | c + α} ，根据归纳假设，这就是 {a, b | c} 。也就是说，假如我们这里所说的“加法”真的符合我们现实意义中的加法的话， α = { | } 其实就应该是那个 0 ！

在我们给出 α + x = x 始终成立的结论后，立即又说 x + α = x 也是始终成立的，这并不是废话，因为我们并不知道这里的加法是否满足交换律。那么，这里的加法是否满足交换律呢？让我们试着比较一下 β + γ 和 γ + β 的结果，来做一番探究吧。由于任何数加上 α 都不变，并且 α 加上任何数也都不变，因而：

β + γ = { | α} + {α | } = {β + α | α + γ} = {β | γ} = δ
γ + β = {α | } + { | α} = {α + β | γ + α} = {β | γ} = δ

这样看来，这里的加法似乎是满足交换律的。

再次利用数学归纳法，我们可以很快得出，这里的加法就是满足交换律的。若 x = {a, b | c} ， y = {d, e, f | g, h} ，那么 x + y 就是 {a + y, b + y, x + d, x + e, x + f | c + y, x + g, x + h} ，而 y + x 就是 {d + x, e + x, f + x, y + a, y + b | g + x, h + x, y + c} ，根据归纳假设，两个数内部的组成元素是完全一致的。

同样是利用数学归纳法，我们还可以得出，这里的加法也是满足结合律的。 (x + y) + z 的左集合，归根结底是由以下三类数组成： (x^L + y) + z 、 (x + y^L) + z 、 (x + y) + z^L 。而 x + (y + z) 的左集合，则是由以下三类数组成： x^L + (y + z) 、 x + (y^L + z) 、 x + (y + z^L) 。根据归纳假设，你会发现， (x + y) + z 的左集合和 x + (y + z) 的左集合本质上是一样的。类似地， (x + y) + z 的右集合和 x + (y + z) 的右集合本质上也是一样的，因而 (x + y) + z = x + (y + z) 始终成立。

这里的加法还满足有序域条件列表中的第 15 条，即 x ≤ y 可推出 x + z ≤ y + z 。事实上，我们会证明一个更强的结论： x ≤ y 当且仅当 x + z ≤ y + z ，两者互相之间都是可推导的。事实上，我们会证明一组比这还要强的结论：

1. 若 x ≤ y ，并且 z ≤ w ，则 x + z ≤ y + w
2. 若 x + z ≤ y + w ，但是 z ≥ w ，则 x ≤ y

就像之前证明那三个补充性质一样，我们会把这两个结论捆绑到一块儿，共同施加数学归纳法。首先，我们来证明结论 1 ，即已知 x ≤ y 和 z ≤ w 可推出 x + z ≤ y + w 。根据加法的定义， x + z 的左集合由所有可能的 x^L + z 和 x + z^L 组成， y + w 的右集合由所有可能的 y^R + w 和 y + w^R 组成。别忘了，一个数小于等于另一个数，当且仅当前者的左集合里不存在大于等于后者的数，并且后者的右集合里不存在小于等于前者的数。因此，如果 x + z ≤ y + w 不成立，这就意味着 x^L + z ≥ y + w 、 x + z^L ≥ y + w 、 y^R + w ≤ x + z 、 y + w^R ≤ x + z 这四种情况当中至少会有一种出现。结果你会发现，这四个式子中的任何一个式子都会引出矛盾。例如，在第一个式子当中， x^L + z ≥ y + w ，但我们有 z ≤ w ，根据结论 2 的归纳假设便有 x^L ≥ y 。但是我们还有 y ≥ x ，由传递性便得到 x^L ≥ x ，这与之前的补充性质 1 矛盾。类似地，从后面三个式子出发，可以分别得出 z^L ≥ z 、 y^R ≤ y 和 w^R ≤ w ，这都与之补充性质相矛盾。

接下来，让我们看看结论 2 ，即已知 x + z ≤ y + w 和 z ≥ w 可推出 x ≤ y 。如果 x ≤ y 不成立，这就意味着 x^L ≥ y 和 y^R ≤ x 这两种情况当中至少会有一种出现。结果你会发现，这两个式子中的任何一个式子都会引出矛盾。例如，在第一个式子当中， x^L ≥ y ，但我们有 z ≥ w ，根据结论 1 的归纳假设便有 x^L + z ≥ y + w ，这与已知的 x + z ≤ y + w 矛盾。类似地，从第二个式子出发，可以得出 y^R + w ≤ x + z ，这也与已知的 x + z ≤ y + w 矛盾。

让我们来回顾一下，这里定义的加法和我们熟知的那个加法究竟有多少差距。这里定义的加法满足加法交换律、加法结合律。这里定义的加法还满足 x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z 。这里定义的加法甚至存在加法单位。我们刚刚引入加法时就发现了， α = { | } 就是加法单位，任何数加上它的结果都不变。不过，我们目前还不知道的是，是否每个元素都存在加法逆元？换句话说，是否对于每一个数，我们都能找出一个相应的数，使得两者相加等于那个加法单位？结果你会发现，这是根本不可能的。除非两个加数都是 α ，否则根据加法的定义，两数之和的左右集合不可能都是空的，自然也就不可能等于加法单位 α 了。

此时，又该轮到谜一般的石板登场了。 Alice 和 Bill 发现，石板上还写有 x 的“逆元”的定义。递归地定义 x 的“逆元”为，将 x 的左右集合颠倒，并把集合里的每个数都变为“逆元”所得的新数。如果把 x 的左右集合分别记作 L(x) 和 R(x) ，把 x 的“逆元”记作 -x ，那么 -x 的左右集合就应该是：

L = { -u | u ∈ R(x) }
R = { -u | u ∈ L(x) }

 

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